2.1.1 单样本正态均值检验

监管部门称了50包标有500g重的红糖，均值为498.35g，少于500g。

由均值，怀疑是否够分量，这里就可以做统计检验。因为厂家声称每袋重500g，因此零假设为总体均值等于500g。正好是我们要检验的内容。因为怀疑每袋的重量小于500g，所以备选假设定为总体均值小于500g。（也就是单侧检验，这里是left tailed）

• \(H_0: \; \mu = 500\)
• \(H_1: \; \mu < 500\)

这里的样本量比较大，但总体均值未知。因此使用t检验。

x = scan("sugar.txt")
t.test(x, mu = 500, alternative = "less")

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = -2.6962, df = 49, p-value = 0.004793
## alternative hypothesis: true mean is less than 500
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 499.3749
## sample estimates:
## mean of x 
##  498.3472

这里t值为\(-2.6962\)，而p值为\(0.004793\)，如果选择显著性水平(\(\alpha\))为0.005，那么拒绝错误的概率为0.005。这是个很小的概率，属于小概率事件。

对于这个例子来说，也就是说，认为产品均值小于500g犯错的概率为0.005，也就是说认为产品均值小于500g基本上是没错的。

在图中看一下t值的位置:

可以看出来，t统计量取值在一个非常小概率的位置。左侧尾概率是一个小概率。

2.1.2 检验区间

上一个例子中，采用了单尾检验(left tailed)。这是因为这个问题只关心小于的部分。实际中，可以根据大于，小于，不等于三个问题把检验分为三种情况:

• 备选假设为小于，那么选择左侧检验(left tailed test)
• 备选假设为大于，那么选择右侧检验(right tailed test)
• 备选假设不等于，那么选择双侧检验(two tailed test)

2.1.3 双样本正态均值检验

为检验某种药物的影响，对处理组的100名人员和对照组的150名人员检验某种指标。

对这个问题中指标的检验，就相当于是双样本的正态均值检验。比如问题是处理组的总体均值\(\mu_1\)是否大于对照组的总体均值\(\mu_2\)。

• \(H_0: \; \mu_1 = \mu_2\)
• \(H_1: \; \mu > \mu_2\)

或者也可以写成:

• \(H_0: \; \mu_1 - \mu_2 = 0\)
• \(H_1: \; \mu_1 - \mu_2 > 0\)

dt = read.table("drug.txt", header = T)
x = dt[dt$X1==1,1]
y = dt[dt$X1==2,1]
t.test(x, y, alternative = "greater")

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  x and y
## t = 0.94456, df = 231.72, p-value = 0.1729
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.3742108        Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##   8.60202   8.10200

可以看出，结果中，p值为0.1729，不能明显拒绝两个均值相等的零假设。

2.1.4 成对样本的检验

例如给出50个人减肥前和减肥后的体重。这样的数据就属于成对样本。如果使用t.test(x, y, alternative = "greater")这样的检验就不行，因为x和y并不是相互独立的。很显然，减肥前体重和减肥后的体重是相关的。因此如果这样计算就会得到错误的结果。

实际上应该利用每个人是相互独立的，来得到单样本进行计算。即用减肥后的体重减去减肥前的体重，对这一差值做检验: t.test(x-y, alternative = "greater").但这样检验实际上是对\(\mu=0\)做的比较。在R的检验里提供了成对样本的选项，可以更加方便地直接使用参数控制。

比如需要检验减肥前的体重大于减肥后的体重：

t.test(w$before, w$after, alternative = "greater", paired = TRUE)

2.2.1 关于总体比例的检验

对某个电视节目，调查显示，被访问的1500人中有23%的收视率。现在想知道这是否和所期望的25%显著不足。

通过图可以看出，此处应该使用z检验。所谓z检验，指的是在n很大的情况下的大样本的正态近似。z值为\(z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-P_0)}{n}}}\)。在R中使用的是prop.test，是在基于z值的修正下做的z检验。

但在计算机时代，完全不必要做这样的假设，可以直接做精确的计算。

对于这个问题，即伯努利检验，使用r中的binom.test:

binom.test(0.23*1500, 1500, p = 0.25, alternative = "less")

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  0.23 * 1500 and 1500
## number of successes = 345, number of trials = 1500, p-value =
## 0.03837
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.25
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.2485905
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.23

如果选定\(\alpha\)为0.05，那么就有足够的理由拒绝零假设。即可以认为收视率小于25%。

2.2.2 关于总体比例的双样本检验

在binom.test中，如果是双样本的比较，那么可以用向量。比如对两个节目的收视率比较，调查观众1200人，A节目收视率为20%，调查观众1300人，B节目收视率为21%，是否可以认为A节目收视率比B节目低：

binom.test(c(0.2*1200, 0.21*1300), c(1200, 1300), alternative = "less")

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  c(0.2 * 1200, 0.21 * 1300)
## number of successes = 240, number of trials = 513, p-value =
## 0.07882
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.5051157
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.4678363

---

3.2.1 符号检验的示例

对某商店的西洋参进行抽查，对25包标有净重100g的西洋参片称重。怀疑其分量不足。

这个问题，就相当于对样本的中位数进行检验。如果是正态分布或者是t分布这样的对称分布，那么中位数就相当于是均值。这里类似的，做符号检验(sign test)：

• \(H_0：\; m = 100\)
• \(H_1：\; m < 100\)

按照零假设，每个观测值小于100的概率都是50%。也就是服从二项分布：

x = scan("gs.txt")
# 方法一
pbinom(sum(x>100), 25, 0.5)

## [1] 0.05387607

# 或者是
binom.test(sum(x>100), 25, 0.5, alternative = "less")

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  sum(x > 100) and 25
## number of successes = 8, number of trials = 25, p-value = 0.05388
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.5036416
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.32

大于零假设中中位数\(m_0\)的值的个数等于所有观测值减去\(m_0\)所得符号为正的个数，而小于的则为符号为负的个数。因此称其为符号检验(sign test)

3.2.2 符号检验的一般流程

符号检验的一般流程是这样的。对于大小为n的样本，观测值为\(x_1,x_2,x_3...,x_n\)，零假设为样本中位数等于某个值M。假设\(r^+\)表示观测值中大于M的值而\(r^-\)表示观测值中小于M的值，等于M的值可以忽略，那么\(r^+\)与\(r^-\)的和记作\(n'\)

零假设下，那么应该有\(r^+\)与\(r^-\)的值相等，遵循\(p=\frac{1}{2}\)的二项分布。

检验的流程：

• 选择\(r = max(r^+,r^-)\)
• 观测在r值的情况下，\(p=\frac{1}{2}\)的二项分布的概率。如果是单侧检验，那么这个值就是p值。如果是双侧检验，该值乘2即为p值。即在上一部分示例中的方法1。

3.3.1 单样本位置的Wilcoxon符号检验

可以看出，在符号检验中，仅用到了大于中位数和小于中位数的情况，而差的绝对值的秩的大小并没有使用。如果结合秩的大小，那么检验效果自然更加有效。也就是Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test)的宗旨。

Wilcoxon符号秩检验和符号检验的思路类似，只不过按照秩做了加权。做法如下：

对\(|x_i-m_0|\)做排序，然后把\(x_i-m_0\)的符号加到秩上面。 对带符号的秩求和，即得到\(W^-\)和\(W^+\)，和符号检验中的么\(r^+\)，\(r^-\)类似。

在R中，只需要使用wilcox.test即可。

3.3.2 双样本的Wilcoxon检验

Wilcoxon检验和t检验用法很类似。也可以用在检测两个未知分布的样本中位数是否相等。语法和t检验也相同：wilcox.test(x.y,alternative = "less")